Два наиболее распространенных методов представления кривых и поверхностей в геометрическом моделировании - неявные уравнения и параметрические функции.

Неявное уравнение кривой, лежащей в плоскости `xy`, имеет вид `f(x,y)=0`. Это уравнение описывает неявную зависимость между `x` и `y` координатами точек, лежащих на кривой. Для данной кривой уравнения уникальны с точностью до мультипликатив­ной константы. Примером может служить круг единичного радиуса с центром в начале координат, определяется уравнением `f(x,y)=x^2+y^2-1=0`.

В параметрической форме, каждая из координат точки на кривой представлена отдельно, в виде явной функции независимого параметра

`C(u)=(x(u),y(u))`   `a<=u<=b`

Таким образом, `C(u)` является вектор-функцией независимой переменной, `u`. Хотя отрезок `[a,b]` - произволен, но, как правило, нормированный на `[0,1]`. Первый квадрант круга, показанного на Рисунке 1.1, определяется параметрическими функциями

`x(u)=cos(u)`

`y(u)=sin(u)`   `0<=u<=pi/2` (1.1)

Установив `t=tan(u/2)`, можно получить альтернативное представление

`x(t)={1-t^2}/{1+t^2}`

`y(t)={2t}/{1+t^2}`   `0<=t<=1` (1.2)

Таким образом, параметрическое представление кривой не уникально

Полезно думать о `C(u)=(x(u),y(u))` как о пути, проходимый частицей со време­нем; где `[a,b]` изменение времени, и `[a,b]` временной интервал. Первая и вторая произ­водная от `C(u)`, соответствует скорости и ускорению частицы, соответственно. Диффе­ренцируя формулы (1.1) и (1.2), получим функции скорости

`C'(u)=(x'(u),y'(u))=(-sin(u),cos(u))`

`C'(t)=(x'(t),y'(t))=({-4t}/{(1+t^2)^2},{2(1-t^2)}/{(1+t^2)^2})`

Обратите внимание, что величина вектора скорости, `C'(u)`, является постоянной

`|C'(u)|=sqrt{sin^2(u)+cos^2(u)}=1`

т. е. направление частицы меняется со временем, но её скорость постоянна. Это упоминается как форма параметризации. Подставляя `t=0` и `t=1` в `C'(t)` дает `C'(0)=(0,2)` и `C'(1)=(-1,0)`, то есть, стартовая скорость частицы это удвоенная конечная скорость.

Поверхность определяется неявным уравнением вида `f(x,y,z)=0`. Например, возьмём сферу единичного радиуса с центром в нуле, как показано на рисунке 1.3 и заданной уравнением `x^2+y^2+z^2-1=0`. Параметрическое представление (не единственное) для той же сферы дается `S(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))`, где

`x(u,v)=sin(u)cos(v)`

`y(u,v)=sin(u)sin(v)`

`z(u,v)=cos(u)`   `0<=u<=pi, 0<=v<=2pi` (1.3)

Обратите внимание, что для определения поверхности требуются два параметра. Устанавливая `u` неизменной и меняя `v` создаём широтные линии сферы; устанавливая `v` неизменной и меняя `u` создаём продольные линии сферы.

Обозначим частные производные `S(u,v)` как `S_u(u,v)=(x_u(u,v), y_u(u,v),` ` z_u(u,v))` и `S_v(u,v)=(x_v(u,v),y_v(u,v),z_v(u,v))`, то есть, скорости вдоль широтных и продольных линий. В любой точке на поверхности, где векторное произведение `S_u xx S_v` не исчезает, единичный вектор нормали, `N`, имеет вид (Рисунок 1.4).

`N={S_u xx S_v}/{|S_u xx S_v|}` (1.4)

Существование нормального вектора в точке, и соответствующей касательной плоскости, является геометрическим свойством поверхности независимо от парамет­ри­зации. Различные параметризации дают разные частные производные, но уравнение (1.4) всегда дает N при условии, что знаменатель не обращается в нуль. Из уравнения рисунке 1.3 видно, что для всех `v`, `0<=v<=2pi`, `S_v(0,v)=S_v(pi,v)=0`, то есть, `S_v` об­ра­ща­ет­ся в нуль у Северного и Южного полюсов сферы. Очевидно, что нормальные век­то­ры существуют и в двух полюсах, но эти параметрические уравнения (1.4) не мо­гут быть использована для их вычисления.

Для неявной и параметрической форм, трудно утверждать, что одна всегда более подходящая, чем другая. Обе имеют свои преимущества и недостатки. Успешное гео­метрическое моделирование делается с помощью обоих методов. Сравним эти два ме­тода следующим образом:

• При добавлении координаты `z` параметрический метод легко распространяет­ся для представления произвольных кривых в трехмерном пространстве, `C(u)=(x(u),y(u),z(u))` ; неявная форма определяет только кривые в пло­скости `xy` (или `xz` , или `yz`);
• Представление ограниченных сегментов кривых (или кусков поверхностей) в неявной форме – слишком громоздки. Для параметрической формы – это ре­ализуется через границы интервалов параметров. С другой стороны, неограни­ченную геометрию (например, простая прямая задается как `f(x,y)=ax+` `by+c=0` трудно реализовать с помощью параметрического геометрии;
• Параметрические кривые обладают естественным направлением обхода (от `C(a)` до `C(b)`, если `a<=u<=b`); неявные кривые не имеют. Таким образом, можно легко сформировать упорядоченные последовательности точек вдоль параметрической кривой. Аналогичное утверждение справедливо и для генерации сетки точек на поверхности;
• Параметрическая форма является более естественным для разработки и представления фигуры в компьютере. Коэффициенты многих параметриче­ских функций, например, Безье и B-сплайна, обладают значительным геоме­трическим смыслом. Это приводит к интуитивной разработке методов и чи­сленно устойчивых алгоритмов с отчетливо геометрическим вкусом;
• Сложность многих геометрических операций и манипуляций во многом зависит от способа представления. Два классических примера:
• вычислить точку на кривой или поверхности – сложно в неявной форме;
• определить принадлежность заданной точки к кривой или поверхности – трудно в параметрической форме;
• В параметрической форме, иногда возникают параметрические аномалии, которые не связаны с истинной геометрией. Примером этого является едини­чная сфера (смотри уравнение [1.3]). Полюса - параметрические критические точки, которые трудно обработать, но геометрически полюса, ничем не отличаются, от любой другой точки на сфере.

Мы сконцентрировались, в основном, на параметрической форме, в остальной части книги. Подробнее о неявных и параметрических формах можно найти в стандартных текстах ([Faux81; Mort85; Hoff89; Beac91]).